Какви са факторите на 45? 1, 3, 5, 9, 15 и 45.

Чудите се как стигнах до тези числа? Факторинг! Тъй като осигурява математическа основа за по-сложни системи, научаването как да разлагате е ключово. Така че, независимо дали учите за изпит по алгебра, подготвяте се за SAT или ACT, или просто искате да опресните и да си спомните как да разлагате числата за по-високи нива на математика, това е ръководството за вас.

Какво е факторинг?

Факторингът е процес на намиране на всяко цяло число, което може да бъде умножено по друго цяло число, за да се изравни с целево число . И двете кратни ще бъдат фактори на целевото число.

Факторизирането на числа може просто да изглежда като досадна задача или наизустяване без крайна цел, но факторизирането е техника, която помага да се изгради гръбнакът на много по-сложни математически процеси.

Без да знаете как да разлагате на множители, би било направо трудно (ако не и невъзможно) да разберете смисъла на полиномите и смятането и дори би направило прости задачи като разделяне на чек, които са много по-трудни за измисляне в главата.

Какви са факторите на 45? Факторинг в действие

Тази концепция може да е трудна за визуализиране, така че нека да разгледаме всички фактори от 45, за да видим този процес в действие. Факторите на 45 са двойките числа, които се равняват на 45, когато се умножат заедно :

1 & 45 (защото 1 * 45 = 45)

3 & 15 (защото 3 * 15 = 45)

5 & ​​9 (защото 5 * 9 = 45)

Така че под формата на списък, 45-те фактора са 1, 3, 5, 9, 15 и 45 .

За наше щастие факторирането изисква само първите две функции в това изображение (да!)

Разлагане на прости множители и прости множители на 45

Просто число е всяко цяло число, по-голямо от 1, което може само се дели (равномерно) на 1 и себе си. Списък с най-малките прости числа са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... и така нататък.

Първичен факторизация означава да се намерят коефициентите на прости числа на целево число, които, когато се умножат заедно, са равни на това целево число. Така че, ако използваме 45 като целево число, искаме да намерим само простите множители на 45, които трябва да бъдат умножени заедно, за да се равняват на 45.

Знаем от множителите от списъка 45 по-горе, че само някои от тези множители (3 и 5) са прости числа. Но също така знаем, че 3 * 5 го прави не равно на 45. Така че 3 * 5 е непълно разлагане на прости множители.

Най-лесният начин да намерите a пълен разлагането на прости множители на всяко дадено целево число е да се използва това, което по същество е деление с главата надолу и деление само на най-малкото просто число, което може да се побере във всеки резултат.

Например:

Разделете целевото число (45) на най-малкото просто число, което може да се включи в него. В този случай е 3.

Завършваме с 15. Сега разделете 15 на най-малкото просто число, което може да се включи в него. В този случай отново е 3.

Завършваме с резултат 5. Сега разделете 5 на най-малкото просто число, което може да се включи в него. В този случай е 5.

Това ни оставя с 1, така че сме готови.

Разлагането на прости фактори ще бъде всички числа от „външната страна“, умножени заедно. Когато се умножат заедно, резултатът ще бъде 45. (Забележка: не включваме 1, защото 1 не е просто число.)

Нашето окончателно разлагане на прости множители на 45 е 3 * 3 * 5.

Един различен вид Prime.

Изчисляване на множителите на всяко число

Когато определяте факторите, най-бързият начин е да се намери фактор двойки както направихме по-рано за всички множители от 45. Чрез намирането на двойките вие ​​намалявате работата си наполовина, тъй като намирате и най-малкия, и най-големия множители едновременно.

Сега, най-бързият начин да разберете всички двойки фактори, които ще ви трябват, за да разложите целевото число, е да намерите резервния корен на целевото число (или корен квадратен и закръглете надолу до най-близкото цяло число) и да използвате това число като ваш спиране точка за намиране на малки множители.

Защо? Защото вече ще сте намерили всички множители, по-големи от квадрата, като намерите двойките множители от по-малки множители. И ще повторите тези фактори само ако продължите да се опитвате да намерите фактори, по-големи от корен квадратен.

Не се притеснявайте, ако това звучи объркващо в момента! Ще работим с пример, за да ви покажем как можете да избегнете загубата на време в намиране на същите фактори отново.

Така че нека видим метода в действие за намиране на всички множители на 64:

Първо, нека вземем корен квадратен от 64.

√64 = 8

Сега знаем само да се съсредоточим върху цели числа 1 - 8, за да намерим първата половина от всичките ни двойки фактори.

#1: Първата ни двойка фактори ще бъде 1 & 64

#2: 64 е четно число, така че следващата ни двойка фактори ще бъде 2 & 32.

#3: 64 не може да бъде равномерно разделено на 3, така че 3 НЕ е фактор.

#4: 64/4 = 16, така че следващата ни двойка фактори ще бъде 4 & 16.

#5: 64 не се дели равномерно на 5, така че 5 НЕ е множител на 64.

#6: 6 не влиза равномерно в 64, така че 6 НЕ е фактор 64.

#7: 7 не влиза равномерно в 64, така че 7 НЕ е фактор 64.

#8: 8 * 8 (8 на квадрат) е равно на 64, така че 8 е множител 64.

И можем да спрем дотук, защото 8 е корен квадратен от 64. Ако продължим да се опитваме да намираме множители, бихме повторили само по-големите числа от предишните ни двойки множители (16, 32, 64).

Нашият окончателен списък с фактори от 64 е 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64.

Факторите (като патета) винаги са по-добри по двойки.

Преки пътища за намиране на фактори

Сега да видим как можем бързо намерете най-малките множители (и следователно двойките множители) на целево число. По-долу съм очертал някои полезни трикове, за да разберете дали числата 1-11 са множители на дадено число.

1) Всеки път, когато искате да разложите число, винаги можете да започнете веднага с два фактора: 1 и целевото число (например 1 & 45, ако разлагате 45). Всяко число (различно от 0) винаги може да бъде умножено по 1, за да се изравни, така че 1 воля винаги бъди фактор.

2) Ако целевото число е четно, следващите ви фактори ще бъдат 2 и половина от целевото число. Ако числото е нечетно, вие автоматично знаете, че не може да бъде разделено равномерно на 2, така че 2 НЯМА да бъде фактор. (Всъщност, ако целевото число е нечетно, то няма да има фактори от НИКАКВО четно число.)

3) Бърз начин да разберете дали едно число се дели на 3 е да съберете цифрите в целевото число. Ако 3 е фактор на сбора на цифрите, тогава 3 също е фактор на целевото число.

Например, да кажем, че нашето целево число е 117 и трябва да го разложим. Можем да разберем дали 3 е фактор, като съберем цифрите на целевото число (117):

1 + 1 + 7 = 9

кодиращ код на Хъфман

3 може да се умножи по 3, за да се изравни с 9, така че 3 ще може да влезе равномерно в 117.

117/3 = 39

3 и 39 са множители на 117.

4) Целево число ще има коефициент 4 само ако това целево число е четно . Ако е така, можете да разберете дали 4 е фактор, като погледнете резултата от по-ранна двойка фактори. Ако при разделянето на целево число на 2 резултатът все още е четен, целевото число също ще се дели на 4. Ако не, целевото число НЯМА да има коефициент 4.

Например:

18/2 = 9. 18 НЕ се дели на 4, защото 9 е нечетно число.

56/2 = 28. 56 се дели на 4, защото 28 е четно число.

5) 5 ще бъде а фактор на всички и всички числа, завършващи на цифрите 5 или 0 . Ако целта завършва с друго число, тя няма да има коефициент 5.

6) 6 винаги ще бъде фактор за целево число ако целевото число има фактори 2 и 3 . Ако не, 6 няма да е фактор.

7) За жалост, няма никакви преки пътища за намиране дали 7 е фактор на число, различно от запомнянето на кратните на 7.

8) Ако целта числото НЯМА фактори 2 и 4, няма да има и фактор 8 . Ако има множители 2 и 4, то биха могли, може имат коефициент 8, но ще трябва да разделите, за да видите (за съжаление, няма хитър трик за това отвъд това и запомнянето на кратните на 8).

9) Можете да разберете дали 9 е фактор по събиране на цифрите на целевото число заедно . Ако сумата им е кратна на 9, тогава целевото число има 9 като фактор.

Например:

42 → 4 + 2 = 6. 6 НЕ се дели на 9, така че 9 НЕ е множител на 42.

72 → 7 + 2 = 9. 9 се дели на 9 (очевидно!), така че 9 е множител на 72.

10) Ако цел числото завършва на 0 , тогава винаги ще има коефициент 10. Ако не, 10 няма да е коефициент.

единадесет) Ако целевото число е a двуцифрено число, като и двете цифри се повтарят (22, 33, 66, 77...), тогава ще има 11 като фактор. Ако е трицифрено число или по-високо, ще трябва просто да проверите дали се дели на 11 сами.

12+) На този етап вероятно вече сте намерили вашите по-големи числа като 12, 13 и 14, като сте намерили по-малките си множители и сте направили двойки множители. Ако не, ще трябва да ги тествате ръчно, като ги разделите на вашето целево число.

Изучаването на вашите техники за бързо факторизиране ще позволи на всички тези досадни парчета да си дойдат на мястото.

Съвети за запомняне на 45 фактора

Ако целта ви е да запомните всички фактори от 45, винаги можете да използвате горните техники за намиране на двойки фактори.

Корен квадратен от 45 е някъде между 6 и 7 (6^2 = 36 и 7^2 = 49). Закръглете надолу до 6, което ще бъде най-голямото малко число, което трябва да тествате.

Знаете, че първата двойка автоматично ще бъде 1 & 45. Знаете също, че 2, 4 и 6 няма да бъдат множители, защото 45 е нечетно число.

4 + 5 = 9, така че 3 ще бъде фактор (както и 15, защото 45/3 = 15).

И накрая, 45 завършва с 5, така че 5 ще бъде фактор (както и 9, защото 45/5 = 9).

Това показва, че винаги можеш разбера факторите на 45 изключително бързо, дори и да не сте запомнили точните числа в списъка.

Или, ако предпочитате да запомните конкретно всички 45 фактора, можете да запомните това, за да разложите на множител 45, всичко, от което се нуждаете, са най-малките три нечетни числа (1, 3, 5) . Сега просто ги сдвоете със съответните им кратни, за да получите 45 (45, 15, 9).

Заключение: Защо факторингът има значение

Разлагането на множители осигурява основата на висши форми на математическа мисъл, така че научаването как да разлагате на множители ще ви служи добре както в настоящите, така и в бъдещите ви математически начинания.

Независимо дали учите за първи път или просто отделяте време да опресните знанията си за факторите, предприемането на стъпките за разбиране на тези процеси (и познаването на триковете за това как да получите вашите фактори най-ефективно!) ще ви помогне да стигнете там, където искате бъдете във вашия математически живот.

Честит факторинг!