Да предположим, че има две формули, X и Y. Тези формули ще бъдат известни като еквивалентност, ако X ↔ Y е тавтология. Ако две формули X ↔ Y е тавтология, тогава можем също да я запишем като X ⇔ Y и можем да прочетем тази връзка като X е еквивалентност на Y.

Забележка: Има някои точки, които трябва да имаме предвид при линейната еквивалентност на формула, които са описани по-долу:

• ⇔ се използва само за обозначаване на символ, но не е свързващ.
• Истинната стойност на X и Y винаги ще бъде равна, ако X ↔ Y е тавтология.
• Отношението на еквивалентност съдържа две свойства, т.е. симетрично и транзитивно.

Метод 1: Метод на таблицата на истината:

В този метод ще изградим таблиците на истината на всяка формула с две твърдения и след това ще проверим дали тези твърдения са еквивалентни.

Пример 1: В този пример трябва да докажем X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Решение: Таблицата на истинността на X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) е описана по следния начин:

Както можем да видим, че X ∨ Y и ¬(¬X ∧ ¬Y) е тавтология. Следователно X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Пример 2: В този пример трябва да докажем (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Решение: Таблицата на истината на (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) е описана, както следва:

Както можем да видим, че X → Y и (¬X ∨ Y) са тавтология. Следователно (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Формула за еквивалентност:

Има различни закони, които се използват за доказване на формулата за еквивалентност, която е описана по следния начин:

Идемпотентен закон: Ако има една формула за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Асоциативен закон: Ако има три формули за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Комутативен закон: Ако има две формули за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Закон за разпределение: Ако има три формули за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

преименуване на Linux директория

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Закон за идентичността: Ако има една формула за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Закон за допълнение: Ако има една формула за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Закон за абсорбция: Ако има две формули за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

От закона на Морган: Ако има две формули за изявление, тогава тя ще съдържа следните свойства:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Метод 2: Процес на подмяна

В този метод ще приемем формула A : X → (Y → Z). Формулата Y → Z може да бъде известна като част от формула. Ако заменим тази част от формулата, т.е. Y → Z, с помощта на формулата за еквивалентност ¬Y ∨ Z в A, тогава ще получим друга формула, т.е. B : X → (¬Y ∨ Z). Това е лесен процес за проверка дали дадените формули A и B са еквивалентни една на друга или не. С помощта на процеса на заместване можем да получим B от A.

Пример 1: В този пример трябва да докажем, че {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Решение: Тук ще вземем лявата странична част и ще се опитаме да вземем дясната странична част.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Сега ще използваме асоциативния закон по следния начин:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Сега ще използваме закона на Де Морган по следния начин:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Следователно доказано

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Пример 2: В този пример трябва да докажем, че {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Решение: Тук ще вземем лявата странична част и ще се опитаме да вземем дясната странична част.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Следователно доказано

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Пример 3: В този пример трябва да докажем, че X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Решение: Тук ще вземем лявата странична част и ще се опитаме да вземем дясната странична част.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Следователно доказано

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Пример 4: В този пример трябва да докажем, че (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Решение: Тук ще вземем лявата странична част и ще се опитаме да вземем дясната странична част.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Сега ще използваме асоциативните и дистрибутивните закони по този начин:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Сега ще използваме закона на Де Морган по следния начин:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Сега ще използваме закона за разпределение по следния начин:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Следователно доказано

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Пример 5: В този пример трябва да покажем, че ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) е тавтология.

Решение: Тук ще вземем малки части и ще ги решим.

Първо ще използваме закона на Де Морган и ще получим следното:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Следователно,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Също

комисия за подбор на персонал значение

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Следователно

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

По този начин

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Следователно можем да кажем, че дадената формула е тавтология.

Пример 6: В този пример трябва да покажем, че (X ∧ Y) → (X ∨ Y) е тавтология.

Решение: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Сега ще използваме закона на Де Морган по следния начин:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Сега ще използваме асоциативния закон и комутативния закон по този начин:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Сега ще използваме закона за отрицание по следния начин:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Следователно можем да кажем, че дадената формула е тавтология.

Пример 7: В този пример трябва да напишем отрицанието на някои твърдения, които са описани по следния начин:

1. Marry ще завърши образованието си или ще приеме писмото за присъединяване на XYZ Company.
2. Утре Хари ще отиде да поязди или да тича.
3. Ако получа добри оценки, братовчед ми ще ревнува.

Решение: Първо, ще решим първото твърдение по следния начин:

1. Да предположим, че X: Marry ще завърши образованието си.

Y: Приемете писмото за присъединяване на компанията XYZ.

Можем да използваме следната символична форма, за да изразим това твърдение:

 X ∨ Y 

Отрицанието на X ∨ Y се описва по следния начин:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

В заключение, отрицанието на дадено твърдение ще бъде:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Да предположим, че Х: Хари ще отиде да се повози

Y: Хари ще тича утре

Можем да използваме следната символична форма, за да изразим това твърдение:

 X ∨ Y 

Отрицанието на X ∨ Y се описва по следния начин:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

В заключение, отрицанието на дадено твърдение ще бъде:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Да предположим, че X: Ако получа добри оценки.

Y: Братовчед ми ще ревнува.

Можем да използваме следната символична форма, за да изразим това твърдение:

 X → Y 

Отрицанието на X → Y се описва по следния начин:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

В заключение, отрицанието на дадено твърдение ще бъде:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Пример 8: В този пример трябва да напишем отрицанието на някои твърдения с помощта на закона на Де Морган. Тези твърдения са описани по следния начин:

1. Имам нужда от комплект диаманти и струва златен пръстен.
2. Получавате добра работа или няма да намерите добър партньор.
3. Поемам много работа и не мога да се справя.
4. Кучето ми отива на път или прави бъркотия в къщата.

Решение: Отрицанието на всички твърдения с помощта на закона на Де Морган се описва едно по едно така:

1. Нямам нужда от комплект с диаманти или не струвам златен пръстен.
2. Не можете да намерите добра работа, но ще намерите добър партньор.
3. Не поемам много работа или мога да се справя.
4. Кучето ми не ходи на път и не прави бъркотия в къщата.

Пример 9: В този пример имаме някои твърдения и трябва да напишем отрицанието на тези твърдения. Изявленията са описани, както следва:

1. Ако вали, планът за плаж се отменя.
2. Ако уча усилено, тогава ще получа добри оценки на изпита.
3. Ако отида на парти до късно, ще получа наказание от баща си.
4. Ако не искате да говорите с мен, трябва да блокирате номера ми.

Решение: Отрицанието на всички твърдения е описано едно по едно по следния начин:

1. Ако планът за плажуване е отменен, значи вали.
2. Ако получа добри оценки на изпита, значи уча здраво.
3. Ако ще получа наказание от баща ми, отивам на вечерно парти.
4. Ако трябва да блокирате номера ми, значи не искате да говорите с мен.

Пример 10: В този пример трябва да проверим дали (X → Y) → Z и X → (Y → Z) са логически еквивалентни или не. Трябва да обосновем нашия отговор с помощта на таблици на истината и с помощта на логически правила, за да опростим и двата израза.

Решение: Първо, ще използваме метод 1, за да проверим дали (X → Y) → Z и X → (Y → Z) са логически еквивалентни, което е описано по следния начин:

Linux файлове

Метод 1: Тук ще приемем следното:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

И

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Метод 2: Сега ще използваме втория метод. В този метод ще използваме таблицата на истината.

В тази таблица на истината можем да видим, че колоните на (X → Y) → Z и X → (Y → Z) не съдържат идентични стойности.