logo

TechCodeview

Намерете уникални двойки, така че всеки елемент да е по-малък или равен на N

За дадено цяло число N намерете и покажете броя на двойките, които отговарят на следните условия:

  • Квадратът на разстоянието между тези две числа е равен на LCM от тези две числа.
  • The GCD от тези две числа е равно на произведението на две последователни цели числа.
  • И двете числа в двойката трябва да са по-малки или равни на N.

ЗАБЕЛЕЖКА: Трябва да се показват само онези двойки, които следват едновременно горните условия и тези числа трябва да са по-малки или равни на N.

Примери:   



  Input:   10   Output:   No. of pairs = 1 Pair no. 1 --> (2 4)   Input:   500   Output:   No. of pairs = 7 Pair no. 1 --> (2 4) Pair no. 2 --> (12 18) Pair no. 3 --> (36 48) Pair no. 4 --> (80 100) Pair no. 5 --> (150 180) Pair no. 6 --> (252 294) Pair no. 7 --> (392 448)

Обяснение:
Показаните по-долу таблици ще дадат ясна представа какво трябва да се намери:  

Намерете уникални двойки, така че всеки елемент да е по-малък или равен на N' title=

sql сървър pivot

Таблиците по-горе показват НОД, образуван от произведението на две последователни числа и съответните му кратни, в които съществува УНИКАЛНА ДВОЙКА, съответстваща на всяка стойност. Зелените записи във всеки ред образуват уникална двойка за съответния GCD.
Забележка: В горните таблици  

  1. За 1-ви запис GCD=2 1-во и 2-ро кратно на 2 образуват уникалната двойка (2 4)
  2. По подобен начин за 2-ри запис GCD=6 2-ро и 3-то кратно на 6 образуват уникалната двойка (12 18)
  3. Продължавайки по подобен начин за Zth запис, т.е. за GCD = Z*(Z+1) е ясно, че уникалната двойка ще се състои от Zth и (Z+1)-то кратно на GCD = Z*(Z+1). Сега Z-то кратно на НОД е Z * (Z*(Z+1)) и (Z+1)-то кратно на НОД ще бъде (Z + 1) * (Z*(Z+1)).
  4. И тъй като ограничението е N, така че второто число в уникалната двойка трябва да е по-малко или равно на N. Така че (Z + 1) * (Z*(Z+1))<= N. Simplifying it further the desired relation is derived Z3+ (2*Z2) + Z<=N

Това формира модел и от математическото изчисление се извлича, че за дадено N общият брой на такива уникални двойки (да речем Z) ще следва математическа връзка, показана по-долу: 

Z3 + (2*Z2) + Z <= N


По-долу е необходимото изпълнение:  

C 
// C program for finding the required pairs #include  #include  // Finding the number of unique pairs int No_Of_Pairs(int N) {  int i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) + (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs void print_pairs(int pairs) {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++) {  mul = i * (i + 1);  printf('Pair no. %d --> (%d %d)n'  i (mul * i) mul * (i + 1));  } } // Driver program to test above functions int main() {  int N = 500 pairs mul i = 1;  pairs = No_Of_Pairs(N);  printf('No. of pairs = %d n' pairs);  print_pairs(pairs);  return 0; }
Java 
// Java program for finding // the required pairs import java.io.*; class GFG  {    // Finding the number  // of unique pairs  static int No_Of_Pairs(int N)  {  int i = 1;    // Using the derived formula  while ((i * i * i) +   (2 * i * i) + i <= N)  i++;    return (i - 1);  }    // Printing the unique pairs  static void print_pairs(int pairs)  {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++)  {  mul = i * (i + 1);  System.out.println('Pair no. ' + i + ' --> (' +   (mul * i) + ' ' +   mul * (i + 1) + ')');   }  }    // Driver code  public static void main (String[] args)  {  int N = 500 pairs mul i = 1;  pairs = No_Of_Pairs(N);    System.out.println('No. of pairs = ' + pairs);  print_pairs(pairs);  } } // This code is contributed by Mahadev.
Python3 
# Python3 program for finding the required pairs # Finding the number of unique pairs def No_Of_Pairs(N): i = 1; # Using the derived formula while ((i * i * i) + (2 * i * i) + i <= N): i += 1; return (i - 1); # Printing the unique pairs def print_pairs(pairs): i = 1; mul = 0; for i in range(1 pairs + 1): mul = i * (i + 1); print('Pair no.'  i ' --> (' (mul * i) ' ' mul * (i + 1) ')'); # Driver Code N = 500; i = 1; pairs = No_Of_Pairs(N); print('No. of pairs = ' pairs); print_pairs(pairs); # This code is contributed # by mits
C# 
// C# program for finding // the required pairs using System; class GFG  {   // Finding the number // of unique pairs static int No_Of_Pairs(int N) {  int i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) +   (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs static void print_pairs(int pairs) {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++)  {  mul = i * (i + 1);  Console.WriteLine('Pair no. ' + i + ' --> (' +   (mul * i) + ' ' +   mul * (i + 1) + ')');   } } // Driver code static void Main() {  int N = 500 pairs;  pairs = No_Of_Pairs(N);  Console.WriteLine('No. of pairs = ' +   pairs);  print_pairs(pairs); } } // This code is contributed by mits
PHP 
 // PHP program for finding  // the required pairs // Finding the number  // of unique pairs function No_Of_Pairs($N) { $i = 1; // Using the  // derived formula while (($i * $i * $i) + (2 * $i * $i) + $i <= $N) $i++; return ($i - 1); } // Printing the unique pairs function print_pairs($pairs) { $i = 1; $mul; for ($i = 1; $i <= $pairs; $i++) { $mul = $i * ($i + 1); echo 'Pair no.'  $i ' --> ('  ($mul * $i) ' ' $mul * ($i + 1)') n'; } } // Driver Code $N = 500; $pairs; $mul; $i = 1; $pairs = No_Of_Pairs($N); echo 'No. of pairs = ' $pairs  ' n'; print_pairs($pairs); // This code is contributed // by Akanksha Rai(Abby_akku) ?>
JavaScript 
<script> // Javascript program for finding the  // required pairs // Finding the number of unique pairs function No_Of_Pairs(N) {  let i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) +  (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs function print_pairs(pairs) {  let i = 1 mul;  for(i = 1; i <= pairs; i++)   {  mul = i * (i + 1);  document.write('Pair no. ' + i +   ' --> (' + (mul * i) +  ' ' + mul * (i + 1) +   ')  
');  } } // Driver code let N = 500 pairs mul i = 1; pairs = No_Of_Pairs(N); document.write('No. of pairs = ' +   pairs + '  
'); print_pairs(pairs); // This code is contributed by mohit kumar 29 </script>
C++14 
// C++ code for the above approach: #include    using namespace std; // Finding the number of unique pairs int No_Of_Pairs(int N) {  int i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) + (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs void print_pairs(int pairs) {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++) {  mul = i * (i + 1);  cout << 'Pair no. '<< i <<' --> (' << (mul * i) << ' '<< mul * (i + 1) << ')' <<endl;;  } } // Driver Code int main() {  int N = 500 pairs mul i = 1;  pairs = No_Of_Pairs(N);  cout << 'No. of pairs = ' << pairs << endl;  print_pairs(pairs);  return 0; }

Изход:   
No. of pairs = 7 Pair no. 1 --> (2 4) Pair no. 2 --> (12 18) Pair no. 3 --> (36 48) Pair no. 4 --> (80 100) Pair no. 5 --> (150 180) Pair no. 6 --> (252 294) Pair no. 7 --> (392 448)

 

Времева сложност : O(N1/3)
Помощно пространство : O(1)