Предпоставки: БИТ Дадени са 'n' отсечки, всеки от тях е хоризонтален или вертикален, намерете максималния брой триъгълници (включително триъгълници с нулева площ), които могат да бъдат образувани чрез съединяване на пресечните точки на отсечките. Никакви два хоризонтални линейни сегмента не се припокриват, нито два вертикални линейни сегмента. Една линия се представя с помощта на две точки (четири цели числа, първите две са координатите x и y съответно за първата точка, а другите две са координатите x и y за втората точка) Примери:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Идеята се основава на Алгоритъм за почистване на линия . Изграждане на решение в стъпки:
приоритет на java оператора
- Съхранявайте двете точки на всички сегменти със съответното събитие (описано по-долу) във вектор и сортирайте всички точки в ненамаляващ ред на техните x координати.
- Нека сега си представим вертикална линия, която прекарваме през всички тези точки и описваме 3 събития въз основа на това в коя точка се намираме в момента:
- а вертикална линия
- Ние наричаме региона "активен" или хоризонталните линии "активен" които са имали първото събитие, но не и второто. Ще имаме BIT (двоично индексирано дърво), за да съхраняваме координатите 'y' на всички активни линии.
- След като линия стане неактивна, ние премахваме нейното 'y' от BIT.
- Когато възникне събитие от трети тип, т.е. когато сме на вертикална линия, ние отправяме запитване към дървото в обхвата на неговите 'y' координати и добавяме резултата към броя на пресечните точки до момента.
- Накрая ще имаме броя точки на пресичане м тогава броят на триъгълниците (включително нулевата площ) ще бъде мВ3 .
в - най-лявата точка на хоризонтална отсечканавън - най-дясна точка на хоризонтална отсечкаЗабележка: Трябва внимателно да сортираме точките cmp() функция в изпълнението за пояснение.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Изход:
абстракция в java
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Помощно пространство: O(maxy), където maxy = 1000005