Логиката на предикатите се занимава с предикати, които са предложения, състоят се от променливи.
Предикатна логика - дефиниция
Предикатът е израз на една или повече променливи, определени в определена област. Предикат с променливи може да бъде направен предложение чрез упълномощаване на стойност на променливата или чрез количествено определяне на променливата.
Следват някои примери за предикати.- Помислете, че E(x, y) обозначава 'x = y'
- Нека X(a, b, c) означава 'a + b + c = 0'
- Помислете, че M(x, y) означава „x е женен за y“.
Квантификатор:
Променливата на предикатите се определя количествено чрез квантори. Има два вида квантори в логиката на предикатите - екзистенциален квантор и универсален квантор.
Екзистенциален квантификатор:
Ако p(x) е предложение върху вселената U. Тогава се означава като ∃x p(x) и се чете като „Във вселената съществува поне една стойност на променлива x, така че p(x) да е истина. Кванторът ∃ се нарича екзистенциален квантор.
Има няколко начина да напишете предложение с екзистенциален квантор, т.е.
(∃x∈A)p(x) или ∃x∈A, така че p (x) или (∃x)p(x) или p(x) е вярно за някои x ∈A.
Универсален квантификатор:
Ако p(x) е предложение върху вселената U. Тогава то се означава като ∀x,p(x) и се чете като „За всяко x∈U,p(x) е вярно.“ Кванторът ∀ се нарича Универсален квантификатор.
Има няколко начина да напишете предложение с универсален квантор.
∀x∈A,p(x) или p(x), ∀x ∈A Или ∀x,p(x) или p(x) е вярно за всички x ∈A.
Отрицание на количествено определени предложения:
Когато отричаме количествено определена пропозиция, т.е. когато универсално количествено определена пропозиция се отрича, получаваме екзистенциално количествено пропозиция, а когато екзистенциално количествено пропозиция се отрича, получаваме универсално количествено пропозиция.
Двете правила за отричане на количествено изразено предложение са както следва. Те се наричат още закон на ДеМорган.
Пример: Отхвърлете всяко от следните предложения:
1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)
слънце: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)
2. (∃x∈U) (x+6=25)
слънце: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25
превключвател на машинопис
3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)
слънце: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))
Предложения с множество квантори:
Предложението, което има повече от една променлива, може да бъде количествено определено с множество квантори. Множеството универсални квантори могат да бъдат подредени в произволен ред, без да се променя значението на полученото предложение. Също така множеството екзистенциални квантори могат да бъдат подредени в произволен ред, без да се променя значението на предложението.
Твърдението, което съдържа както универсални, така и екзистенциални квантори, редът на тези квантори не може да бъде сменен, без да се промени значението на предложението, например, предложението ∃x ∀ y p(x,y) означава „Съществува някакво х, такова че p (x, y) е вярно за всяко y.'
Пример: Напишете отрицанието за всяко от следните. Определете дали полученото твърдение е вярно или невярно. Да приемем, че U = R.
1.∀ x ∃ m(x2 слънце: Отрицание на ∀ x ∃ m(x2 2. ∃ m∀ x(x2 слънце: Отрицание на ∃ m ∀ x (x2