В тази статия ще обсъдим симетричната разлика между две групи. Тук също ще обсъдим свойствата на симетричната разлика между две множества.
Надяваме се, че тази статия ще ви бъде полезна, за да разберете симетричната разлика между две групи.
Какво е симетрична разлика?
Друг вариант на разликата е симетричната разлика. Да предположим, че има две множества, A и B. Симетричната разлика между двете множества A и B е множеството, което съдържа елементите, които присъстват и в двете групи, с изключение на общите елементи.
Симетричната разлика между две множества се нарича още as разделителен съюз . Симетрична разлика между две множества е набор от елементи, които са в двете множества, но не и в тяхното пресичане. Симетричната разлика между две множества A и B е представена от A D B или А? Б .
Можем да го разберем чрез примери.
Пример1 Да предположим, че има две множества с някои елементи.
Набор A = {1, 2, 3, 4, 5}
Набор B = {3, 5}
И така, симетричната разлика между дадените множества A и B е {1, 2, 4}
Или можем да кажем така A Δ B = {1, 2, 4} .
Пример2 Да предположим, че има две множества с някои елементи.
Набор A = {a, b, c, k, m, n}
Набор B = {c, n}
И така, симетричната разлика между дадените множества A и B е {a, b, k, m}
Или можем да кажем така A Δ B = {a, b, k, m} .
В диаграмата на Venn по-долу можете да видите симетричната разлика между двата комплекта.
Частта, оцветена с цвета на кожата в горната диаграма на Вен, е симетричната разлика между дадените набори, т.е. A D B .
Нека видим някои от свойствата на симетричната разлика между две множества.
Имоти
Има някои от свойствата на симетричната разлика, които са изброени по-долу;
- Симетричната разлика може да бъде представена като обединение на двете относителни добавки, т.е.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Симетричната разлика между две множества може също да бъде изразена като обединението на две групи минус пресечната точка между тях -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Симетричната разлика е комутативна, както и асоциативна -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Празното множество е неутрално (в математиката неутрален елемент се нарича специален тип елемент, който, когато се комбинира с който и да е елемент от множеството за извършване на двоична операция, оставя елемента непроменен. Той е известен също като Елемент на идентичност ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Ако набор A е равен на набор B, тогава симетричната разлика между двата набора е -
A Δ B = ∅ {когато A = B}
„Симетрична разлика между два комплекта“ v/s „Разлика между два комплекта“
Разлика между два комплекта
Разликата между две множества A и B е набор от всички онези елементи, които принадлежат на A, но не принадлежат на B и се означава с А - Б .
Пример: Нека A = {1, 2, 3, 4}
и B = {3, 4, 5, 6}
след това A - B = {3, 4} и B - A = {5, 6}
Симетрична разлика между две групи
Симетричната разлика между два набора, A и B, е наборът, съдържащ всички елементи, които са в A или B, но не и в двете. Тя е представена от A D B или А? Б .
Пример: Нека A = {1, 2, 3, 4}
и B = {3, 4, 5, 6}
тогава A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Сега нека видим някои примери, за да разберем по-ясно симетричната разлика между две групи.
Въпрос 1 - Да предположим, че имате наборите A = {10, 15, 17, 19, 20} и B = {15, 16, 18}. Намерете разликата между двете множества A и B и също така намерете симетричната разлика между тях.
Решение - предвид,
каква е разликата между мегабайт и гигабайт
A = {10, 15, 17, 19, 20}
и B = {15, 16, 18}
Разликата между двата комплекта е -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Симетричната разлика между двата комплекта е -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Въпрос 2 - Да предположим, че имате множествата A = {2, 4, 6, 8} и B = {2, 5, 7, 8}. Намерете симетричната разлика B Δ A. Освен това начертайте диаграмата на Venn, за да представите симетричната разлика между двете дадени групи.
Решение - Дадено е, A = {2, 4, 6, 8} и B = {2, 5, 7, 8}
Знаем, че B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Нека се опитаме да разрешим въпроса стъпка по стъпка. И така, първата стъпка е да се намери обединението на множество A и множество B.
Следователно (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
След това трябва да изчислим пресечната точка между двете множества.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Сега трябва да намерим разликата между обединението и пресечната точка на множества A и B, както е посочено във формулата,
И така, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Следователно B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Което ще бъде равно на A Δ B, както е посочено по-горе, „симетричната разлика е комутативна“. Сега ще покажем симетричната разлика между двата набора чрез диаграмата на Вен.
В диаграмата на Вен, първо, ще начертаем две окръжности, представляващи множества A и B. Както е изчислено по-горе, пресечната точка между двете групи е {2, 8}, така че изброихме тези елементи в пресичащата се област. След това изброяваме останалите елементи в съответните им набори кръгове, т.е. {4, 6} в набор A и {5, 7} в набор B. След подреждането на елементите диаграмата на Venn ще бъде -
Когато разгледаме горната диаграма на Вен, има универсално множество U. И двете множества A и B са подмножеството на универсалното множество U. Елементите {2, 8} са пресичащите се елементи, така че те са представени в пресичащата се област. Регионът със светлооранжев цвят е обединението на набори с изключение на пресичащия се регион. Тази област е симетричната разлика между двата набора A и B и ще бъде представена като -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Въпрос 3 - Да предположим, че имате множествата A = {5, 6, 8, 9, 10} и B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Докажете, че симетричната разлика е комутативна, като използвате дадените множества.
Решение - Дадени са A = {5, 6, 8, 9, 10} и B = {2, 7, 8, 9, 10}
Да докажа: A Δ B = B Δ A
Вземете LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
И така, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Сега вземете RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
И така, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Следователно A Δ B = B Δ A
Следователно симетричната разлика е комутативна.