След като сте изчистили квадратната формула и основите на квадратните уравнения, е време за следващото ниво на връзката ви с параболите: да научите за техните форма на върха .

Прочетете, за да научите повече за формата на върха на параболата и как да преобразувате квадратно уравнение от стандартна форма във форма на върха.

кредит на изображението на функцията: SBA73 /Flickr

Защо Vertex Form е полезна? Преглед

The форма на върха на уравнение е алтернативен начин за изписване на уравнението на парабола.

Обикновено ще видите квадратно уравнение, написано като $ax^2+bx+c$, което, когато бъде начертано, ще бъде парабола. От този формуляр е достатъчно лесно да намерите корените на уравнението (където параболата удря оста $x$), като зададете уравнението равно на нула (или използвате квадратната формула).

Ако обаче трябва да намерите върха на парабола, стандартната квадратна форма е много по-малко полезна. Вместо това ще искате да преобразувате вашето квадратно уравнение във форма на върха.

Какво е Vertex Form?

Докато стандартната квадратна форма е $ax^2+bx+c=y$, върховата форма на квадратно уравнение е $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

И в двете форми $y$ е $y$-координатата, $x$ е $x$-координатата, а $a$ е константата, която ви казва дали параболата е обърната нагоре ($+a$) или надолу ($-a$). (Мисля за това, сякаш параболата е купа с ябълково пюре; ако има $+a$, мога да добавя ябълково пюре в купата; ако има $-a$, мога да изтръскам ябълковото пюре от купата.)

Разликата между стандартната форма на парабола и формата на върха е, че формата на върха на уравнението също ви дава върха на параболата: $(h,k)$.

Например, погледнете тази фина парабола, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Въз основа на графиката върхът на параболата изглежда нещо като (-1,5,-2), но е трудно да се каже точно къде е върхът само от графиката. За щастие, въз основа на уравнението $y=3(x+4/3)^2-2$, знаем, че върхът на тази парабола е $(-4/3,-2)$.

Защо върхът е $(-4/3,-2)$, а не $(4/3,-2)$ (освен графиката, която изяснява както $x$-, така и $y$-координатите на върхът е отрицателен)?

Помня: в уравнението на формата на върха $h$ се изважда и $k$ се добавя . Ако имате минус $h$ или минус $k$, ще трябва да се уверите, че изваждате минус $h$ и добавяте минус $k$.

В този случай това означава:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

и така върхът е $(-4/3,-2)$.

Винаги трябва да проверявате отново своите положителни и отрицателни знаци, когато пишете парабола във формата на върха , особено ако върхът няма положителни $x$ и $y$ стойности (или за вас квадрантни глави там, ако не е в квадрант I ). Това е подобно на проверката, която бихте направили, ако решавате квадратичната формула ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) и трябва да сте сигурни, че сте запазили положителното и отрицателни направо за вашите $a$s, $b$s и $c$s.

По-долу е дадена таблица с допълнителни примери за няколко други уравнения на формата на върха на парабола, заедно с техните върхове. Обърнете внимание по-специално на разликата в частта $(x-h)^2$ от уравнението на формата на върха на параболата, когато координатата $x$ на върха е отрицателна.

Как да конвертирате от стандартна квадратна форма във върхова форма

През повечето време, когато от вас се иска да конвертирате квадратни уравнения между различни форми, ще преминавате от стандартна форма ($ax^2+bx+c$) към върхова форма ($a(x-h)^2+k$ ).

Процесът на преобразуване на вашето уравнение от стандартна квадратна във върхова форма включва изпълнение на набор от стъпки, наречени завършване на квадрата. (За повече информация относно завършването на квадрата, не забравяйте да прочетете тази статия.)

Нека разгледаме пример за преобразуване на уравнение от стандартна форма във върхова форма. Ще започнем с уравнението $y=7x^2+42x-3/14$.

Първото нещо, което ще искате да направите, е да преместите константата или члена без $x$ или $x^2$ до него. В този случай нашата константа е $-3/14$. (Знаем, че е отрицателен $3/14$, защото стандартното квадратно уравнение е $ax^2+bx+c$, а не $ax^2+bx-c$.)

Първо, ще вземем това $-3/14$ и ще го преместим в лявата страна на уравнението:

$y+3/14=7x^2+42x$

Следващата стъпка е да отделите 7 (стойността $a$ в уравнението) от дясната страна, така:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Страхотен! Това уравнение изглежда много повече като форма на върха, $y=a(x-h)^2+k$.

В този момент може би си мислите: „Всичко, което трябва да направя сега, е да преместя $3/14$ обратно в дясната страна на уравнението, нали?“ Уви, не толкова бързо.

Ако погледнете част от уравнението вътре в скобите, ще забележите проблем: то не е под формата на $(x-h)^2$. Има твърде много $x$s! Така че все още не сме съвсем готови.

Това, което трябва да направим сега, е най-трудната част — да завършим квадрата.

Нека разгледаме по-подробно $x^2+6x$ частта от уравнението. За да разложим $(x^2+6x)$ в нещо подобно на $(x-h)^2$, ще трябва да добавим константа отвътре на скобите — и ще трябва да запомним за да добавите тази константа и към другата страна на уравнението (тъй като уравнението трябва да остане балансирано).

За да настроим това (и да се уверим, че не забравяме да добавим константата към другата страна на уравнението), ще създадем празно място, където константата ще отиде от двете страни на уравнението:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Обърнете внимание, че от лявата страна на уравнението се погрижихме да включим нашата $a$ стойност, 7, пред интервала, където ще отиде нашата константа; това е така, защото ние не просто добавяме константата към дясната страна на уравнението, но умножаваме константата по това, което е от външната страна на скобите. (Ако вашата $a$ стойност е 1, не е нужно да се тревожите за това.)

Следващата стъпка е да завършите квадрата. В този случай квадратът, който попълвате, е уравнението вътре в скобите – като добавите константа, вие го превръщате в уравнение, което може да бъде записано като квадрат.

За да изчислите тази нова константа, вземете стойността до $x$ (в този случай 6), разделете я на 2 и я повдигнете на квадрат.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Константата е 9.

Причината, поради която разполовяваме 6 и го повдигаме на квадрат, е, че знаем, че в уравнение във формата $(x+p)(x+p)$ (което се опитваме да стигнем), $px+px= 6x$, така че $p=6/2$; за да получим константата $p^2$, трябва да вземем $6/2$ (нашето $p$) и да го повдигнем на квадрат.

Сега заменете празното място от двете страни на нашето уравнение с константата 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

След това факторизирайте уравнението вътре в скобите. Тъй като завършихме квадрата, ще можете да го разложите на множители като $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Последна стъпка: преместете стойността, различна от $y$, от лявата страна на уравнението обратно в дясната страна:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Честито! Успешно преобразувахте вашето уравнение от стандартна квадратна във върхова форма.

Сега повечето проблеми няма просто да ви помолят да преобразувате вашите уравнения от стандартна форма във форма на върха; те ще искат действително да дадете координатите на върха на параболата.

За да избегнем измама от промените на знака, нека напишем общото уравнение на формата на върха директно над уравнението на формата на върха, което току-що изчислихме:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

И тогава можем лесно да намерим $h$ и $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Върхът на тази парабола е в координати $(-3,-{885/14})$.

Уау, това беше много разбъркване на числа! За щастие преобразуването на уравнения в другата посока (от връхна към стандартна форма) е много по-лесно.

Как да конвертирате от Vertex Form в Standard Form

Преобразуването на уравнения от тяхната върхова форма в правилната квадратна форма е много по-прост процес: всичко, което трябва да направите, е да умножите върховата форма.

Нека вземем нашето примерно уравнение от по-рано, $y=3(x+4/3)^2-2$. За да превърнем това в стандартна форма, просто разширяваме дясната страна на уравнението:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Тада! Успешно преобразувахте $y=3(x+4/3)^2-2$ във формата му $ax^2+bx+c$.

Практика на формата на върха на парабола: Примерни въпроси

За да завършим това изследване на формата на върха, имаме четири примерни проблема и обяснения. Вижте дали можете сами да решите задачите, преди да прочетете обясненията!

#1: Каква е върховата форма на квадратното уравнение $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Преобразувайте уравнението $7y=91x^2-112$ във форма на върха. Какво представлява върхът?

#3: При дадено уравнение $y=2(x-3/2)^2-9$, какви са $x$-координатите на мястото, където това уравнение се пресича с оста $x$?

#4: Намерете върха на параболата $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Парабола Вертекс Форма Практика: Решения

#1: Каква е върховата форма на квадратното уравнение ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Започнете, като отделите променливата, която не е $x$, от другата страна на уравнението:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Тъй като нашето $a$ (както в $ax^2+bx+c$) в оригиналното уравнение е равно на 1, не е необходимо да го изваждаме от дясната страна тук (въпреки че ако искате, можете да напишете $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

След това разделете коефициента $x$ (2,6) на 2 и го повдигнете на квадрат, след което добавете полученото число към двете страни на уравнението:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Разложете дясната страна на уравнението в скобите:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Накрая комбинирайте константите от лявата страна на уравнението, след което ги преместете в дясната страна.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Нашият отговор е $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Преобразувайте уравнението $7i y=91i x^2-112$ във форма на върха. Какво е върхът?

Когато преобразувате уравнение във върхова форма, искате $y$ да има коефициент 1, така че първото нещо, което ще направим, е да разделим двете страни на това уравнение на 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

След това пренесете константата в лявата страна на уравнението:

$y+16=13x^2$

Извадете коефициента на числото $x^2$ ($a$) от дясната страна на уравнението

$y+16=13(x^2)$

Сега, обикновено трябва да завършите квадрата от дясната страна на уравнението вътре в скобите. Въпреки това, $x^2$ вече е квадрат, така че не е нужно да правите нищо, освен да преместите константата от лявата страна на уравнението обратно в дясната страна:

$y=13(x^2)-16$.

Сега, за да намерите върха:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, така че $h=0$

$+k=-16$, така че $k=-16$

Върхът на параболата е на $(0, -16)$.

#3: Дадено е уравнението $i y=2(i x-3/2)^2-9$, колко е(са) $i x$-координатата(ите) на мястото, където това уравнение се пресича с $i x$-ос?

Тъй като въпросът ви моли да намерите $x$-отсечката(ите) на уравнението, първата стъпка е да зададете $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Сега има няколко начина да отидете от тук. Коварният начин е да използваме факта, че вече има квадрат, записан в уравнението на формата на върха, в наша полза.

Първо, ще преместим константата в лявата страна на уравнението:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

След това ще разделим двете страни на уравнението на 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Сега, подлата част. Вземете корен квадратен от двете страни на уравнението:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±