Остър, тъпоъгълен, равнобедрен, равностранен… Когато става дума за триъгълници, има много различни разновидности, но само няколко са „специалните“. Тези специални триъгълници имат страни и ъгли, които са последователни и предсказуеми и могат да се използват за пряк път през вашите проблеми с геометрията или тригонометрията. И триъгълник 30-60-90 - произнасян 'тридесет и шестдесет и деветдесет' - се оказва наистина много специален тип триъгълник.
В това ръководство ще ви разкажем какво е триъгълник 30-60-90, защо работи и кога (и как) да използвате знанията си за него. Така че нека се заемем!
Какво е триъгълник 30-60-90?
Триъгълник 30-60-90 е специален правоъгълен триъгълник (правоъгълен триъгълник е всеки триъгълник, който съдържа ъгъл от 90 градуса), който винаги има градусов ъгъл от 30 градуса, 60 градуса и 90 градуса. Тъй като това е специален триъгълник, той също има стойности на дължината на страните, които винаги са в последователна връзка една с друга.
Основното съотношение на триъгълника 30-60-90 е:
Страна срещу ъгъла от 30°: $x$
Страна срещу ъгъла от 60°: $x * √3$
Страна срещу ъгъла от 90°: x$
Например, триъгълник 30-60-90 градуса може да има дължини на страните от:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
cpp е равно на
(Защо по-дългият катет е 3? В този триъгълник най-късият катет ($x$) е $√3$, така че за по-дългия катет $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. И хипотенузата е 2 пъти най-късия катет, или √3$)
И така нататък.
Страната срещу ъгъла от 30° винаги е най-малката , защото 30 градуса е най-малкият ъгъл. Страната срещу ъгъла от 60° ще бъде средната дължина , защото 60 градуса е средният градусов ъгъл в този триъгълник. И накрая, страната срещу ъгъла от 90° винаги ще бъде най-голямата страна (хипотенузата) защото 90 градуса е най-големият ъгъл.
Въпреки че може да изглежда подобно на други видове правоъгълни триъгълници, причината триъгълник 30-60-90 да е толкова специален е, че имате нужда само от три части информация, за да намерите всяко друго измерване. Докато знаете стойността на две ъглови мерки и дължина на една страна (няма значение коя страна), знаете всичко, което трябва да знаете за вашия триъгълник.
Например, можем да използваме формулата за триъгълник 30-60-90, за да попълним всички останали информационни празни места на триъгълниците по-долу.
Пример 1
Виждаме, че това е правоъгълен триъгълник, в който хипотенузата е два пъти по-голяма от дължината на един от катетите. Това означава, че това трябва да е триъгълник 30-60-90 и по-малката дадена страна е срещу 30°.
Следователно по-дългият крак трябва да е срещу ъгъла от 60° и да е с размери * √3$, или √3$.
Пример 2
сравнение в java
Можем да видим, че това трябва да е триъгълник 30-60-90, защото можем да видим, че това е правоъгълен триъгълник с едно дадено измерване, 30°. Тогава немаркираният ъгъл трябва да бъде 60°.
Тъй като 18 е мярката срещу ъгъла от 60°, тя трябва да е равна на $x√3$. Тогава най-късият крак трябва да е с размер /√3$.
(Имайте предвид, че дължината на крака всъщност ще бъде /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, защото знаменателят не може да съдържа корен/квадратен корен).
И хипотенузата ще бъде (18/√3)$
(Обърнете внимание, че отново не можете да имате радикал в знаменателя, така че крайният отговор наистина ще бъде 2 пъти дължината на крака от √3$ => √3$).
Пример 3
Отново са ни дадени две ъглови измервания (90° и 60°), така че третата мярка ще бъде 30°. Тъй като това е триъгълник 30-60-90 и хипотенузата е 30, най-късият катет ще е равен на 15, а по-дългият катет ще е равен на 15√3.
Няма нужда да се консултирате с магическата осма топка - тези правила винаги работят.
Защо работи: Доказателство за триъгълна теорема 30-60-90
Но защо този специален триъгълник работи така, както работи? Как да разберем, че тези правила са законни? Нека да разгледаме как точно работи теоремата за триъгълника 30-60-90 и да докажем защо тези дължини на страните винаги ще бъдат последователни.
Първо, нека забравим за правоъгълните триъгълници за секунда и да разгледаме равностранен триъгълник.
Равностранен триъгълник е триъгълник, който има всички равни страни и всички равни ъгли. Тъй като вътрешните ъгли на триъгълника винаги се събират до 180° и 0/3 = 60$, равностранен триъгълник винаги ще има три ъгъла от 60°.
Сега нека спуснем височина от най-горния ъгъл до основата на триъгълника.
Сега имаме създаде два прави ъгъла и два еднакви (равни) триъгълника.
Как да разберем, че са равни триъгълници? Тъй като паднахме височина от равностранен триъгълник, ние разделихме основата точно наполовина. Новите триъгълници също споделят дължина на едната страна (височината) и всеки от тях има еднаква дължина на хипотенузата. Тъй като те споделят три общи дължини на страните (SSS), това означава триъгълниците са еднакви.
Забележка: двата триъгълника не само са съвпадащи въз основа на принципите на дължината на страна-страна-страна, или SSS, но и на базата на мерки страна-ъгъл-страна (SAS), ъгъл-ъгъл-страна (AAS) и ъгъл- страничен ъгъл (ASA). По принцип? Те определено са еднакви.
Сега, след като доказахме съответствието на двата нови триъгълника, можем да видим, че всеки от горните ъгли трябва да е равен на 30 градуса (защото всеки триъгълник вече има ъгли от 90° и 60° и сумата трябва да е 180°). Това означава направихме два триъгълника 30-60-90.
ад за обратно извикване в javascript
И тъй като знаем, че сме срязали основата на равностранния триъгълник наполовина, можем да видим, че страната срещу ъгъла от 30° (най-късата страна) на всеки от нашите триъгълници 30-60-90 е точно половината от дължината на хипотенузата .
Така че нека наречем първоначалната ни дължина на страната $x$ и разполовената дължина $x/2$.
Сега всичко, което ни остава да направим, е да намерим дължината на средната страна, която споделят двата триъгълника. За да направим това, можем просто да използваме Питагоровата теорема.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Така че оставаме с: $x/2, {x√3}/2, x$
Сега нека умножим всяка мярка по 2, само за да направим живота по-лесен и да избегнем всички дроби. По този начин оставаме с:
$x$, $x√3$, x$
Следователно можем да видим, че триъгълник 30-60-90 ще винаги имат последователни дължини на страните $x$, $x√3$ и x$ (или $x/2$, ${√3x}/2$ и $x$).
За наш късмет можем да докажем, че правилата на триъгълника 30-60-90 са верни без всичко това.
Кога да използвате триъгълни правила 30-60-90
Познаването на правилата за триъгълник 30-60-90 ще може да ви спести време и енергия за множество различни математически задачи, а именно голямо разнообразие от геометрични и тригонометрични задачи.
Геометрия
Правилното разбиране на триъгълниците 30-60-90 ще ви позволи да решавате геометрични въпроси, които или биха били невъзможни за решаване без познаване на тези правила за съотношението, или най-малкото биха отнели значително време и усилия за решаване на „дългия път“.
Със специалните съотношения на триъгълници можете да разберете липсващите височини на триъгълници или дължини на краката (без да се налага да използвате Питагоровата теорема), да намерите площта на триъгълник, като използвате информация за липсваща височина или основна дължина и бързо да изчислите периметри.
Всеки път, когато имате нужда от бързина, за да отговорите на въпрос, запомнянето на преки пътища като вашите правила 30-60-90 ще бъде полезно.
Тригонометрия
Запомнянето и разбирането на триъгълното съотношение 30-60-90 също ще ви позволи да решавате много тригонометрични проблеми без нуждата от калкулатор или необходимостта да приближавате отговорите си в десетична форма.
Триъгълник 30-60-90 има доста прости синуси, косинуси и тангенси за всеки ъгъл (и тези измервания винаги ще бъдат последователни).
Синус от 30° винаги ще бъде /2$.
Косинус от 60° винаги ще бъде /2$.
Въпреки че другите синуси, косинуси и тангенси са доста прости, това са двете, които са най-лесни за запомняне и е вероятно да се покажат на тестове. Така че познаването на тези правила ще ви позволи да намерите тези тригонометрични измервания възможно най-бързо.
Съвети за запомняне на правилата 30-60-90
Знаете, че тези правила за съотношение 30-60-90 са полезни, но как да запазите информацията в главата си? Запомнянето на правилата за триъгълник 30-60-90 е въпрос на запомняне на съотношението 1: √3 : 2 и знанието, че дължината на най-късата страна е винаги срещу най-късия ъгъл (30°), а дължината на най-дългата страна е винаги срещу най-голям ъгъл (90°).
Някои хора запаметяват съотношението, като си мислят: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ', тъй като последователността '1, 2, 3' обикновено е лесна за запомняне. Единствената предпазна мярка при използването на тази техника е да запомните, че най-дългата страна всъщност е x$, не $x$ по $√3$.
Друг начин да запомните вашите съотношения е да използвайте мнемонична игра на думи в съотношението 1: корен 3: 2 в правилния им ред. Например „Джаки Мичъл зачеркна Лу Гериг и „спечели и Рути“: едно, корен три, две. (И това е истински факт от бейзболната история!)
Поиграйте си със собствените си мнемонични средства, ако те не ви харесват – изпейте съотношението към песен, намерете свои собствени фрази „едно, корен три, две“ или измислете стихотворение за съотношение. Можете дори просто да запомните, че триъгълник 30-60-90 е половината от равностранен и да разберете измерванията от там, ако не ви харесва да ги запомняте.
конвертиране на низ в json в java
Колкото и да е логично за вас да запомните тези правила 30-60-90, запазете тези съотношения в главата си за бъдещите си въпроси по геометрия и тригонометрия.
Запаметяването е ваш приятел, но можете да го направите.
Пример 30-60-90 Въпроси
Сега, след като разгледахме как и защо на триъгълниците 30-60-90, нека поработим върху някои практически задачи.
Геометрия
Строителен работник опира 40-футова стълба до стената на сграда под ъгъл от 30 градуса спрямо земята. Теренът е равен и страната на сградата е перпендикулярна на терена. Колко нагоре по сградата стига стълбата до най-близкия крак?
Без да знаем нашите специални правила за триъгълник 30-60-90, ще трябва да използваме тригонометрия и калкулатор, за да намерим решението на този проблем, тъй като имаме измерване само на една страна на триъгълник. Но тъй като знаем, че това е a специален триъгълник, можем да намерим отговора само за секунди.
Ако сградата и земята са перпендикулярни една на друга, това трябва да означава, че сградата и земята образуват прав (90°) ъгъл. Също така е дадено, че стълбата среща земята под ъгъл от 30°. Следователно можем да видим, че оставащият ъгъл трябва да бъде 60°, което прави това триъгълник 30-60-90.
Сега знаем, че хипотенузата (най-дългата страна) на това 30-60-90 е 40 фута, което означава, че най-късата страна ще бъде половината от тази дължина. (Запомнете, че най-дългата страна винаги е два пъти — x$ — по-дълга от най-късата страна.) Тъй като най-късата страна е срещу ъгъла от 30° и този ъгъл е градусовата мярка на стълбата от земята, това означава, че горната част на стълбата удря сградата на 20 фута от земята.
Окончателният ни отговор е 20 фута.
Тригонометрия
Ако в правоъгълен триъгълник sin Θ = /2$ и дължината на най-късия катет е 8. Каква е дължината на липсващата страна, която НЕ е хипотенузата?
Тъй като знаете правилата си 30-60-90, можете да решите този проблем, без да имате нужда нито от питагоровата теорема, нито от калкулатор.
Казаха ни, че това е правоъгълен триъгълник и знаем от нашите специални правила за правоъгълен триъгълник, че синус 30° = /2$. Следователно липсващият ъгъл трябва да бъде 60 градуса, което прави това триъгълник 30-60-90.
И тъй като това е триъгълник 30-60-90 и ни казаха, че най-късата страна е 8, хипотенузата трябва да е 16 и липсващата страна трябва да бъде * √3$, или √3$.
Крайният ни отговор е 8√3.
формула на масон
Вземане
Спомняйки си за правилата за триъгълници 30-60-90 ще ви помогнат да си проправите пряк път през различни математически задачи . Но имайте предвид, че въпреки че познаването на тези правила е удобен инструмент, който трябва да имате в колана си, все още можете да разрешите повечето проблеми без тях.
Проследявайте правилата на $x$, $x√3$, x$ и 30-60-90 по какъвто и да е смислен за вас начин и се опитайте да ги спазвате правилно, ако можете, но не се паникьосвайте, ако мислите, изгасва, когато е време за хрупкане. Така или иначе, вие имате това.
И ако имате нужда от повече практика, продължете и вижте това Тест с триъгълник 30-60-90 . Приятно полагане на теста!