Като се има предвид ан n × n двоична матрица заедно с състоящ се от 0s и 1s . Вашата задача е да намерите размера на най-големия "+" форма, която може да се формира само с помощта на 1s .
А "+" формата се състои от централна клетка с четири рамена, простиращи се във всичките четири посоки ( нагоре надолу наляво и надясно ), оставайки в границите на матрицата. Размерът на a "+" се определя като общ брой клетки оформяйки го, включително центъра и всички ръце.
Задачата е да върнете максимален размер на всеки валиден "+" в заедно с . Ако не "+" може да се формира връщане .
Примери:
вход: с = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]
Изход: 9
Обяснение: „+“ с дължина на ръката 2 (2 клетки във всяка посока + 1 център) може да се формира в центъра на постелката.
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 10
Общ размер = (2 × 4) + 1 = 9
вход: с = [ [0 1 1] [0 0 1] [1 1 1] ]
Изход: 1
Обяснение: „+“ с дължина на ръката 0 (0 клетки във всяка посока + 1 център) може да се формира с всяка от 1-ците.вход: с = [ [0] ]
Изход:
Обяснение: не Може да се образува знак „+“.
[Наивен подход] - Считайте всяка точка за център - O(n^4) време и O(n^4) пространство
Преминете през клетките на матрицата една по една. Разгледайте всяка пресечена точка като център на плюс и намерете размера на +. За всеки елемент преминаваме наляво надясно долу и нагоре. Най-лошият случай в това решение се случва, когато имаме всички единици.
[Очакван подход] - Предварително изчислени 4 масива - O(n^2) време и O(n^2) пространство
The идея е да се поддържат четири спомагателни матрици отляво[][] отдясно[][] отгоре[][] отдолу[][] за съхраняване на последователни 1 във всяка посока. За всяка клетка (i j) във входната матрица съхраняваме информацията по-долу в тези четири матрици -
- ляво (i j) съхранява максимален брой последователни 1 до наляво на клетка (i j), включително клетка (i j).
- надясно (i j) съхранява максимален брой последователни 1 до точно на клетка (i j), включително клетка (i j).
- отгоре (i j) съхранява максимален брой последователни 1 в отгоре на клетка (i j), включително клетка (i j).
- дъно (i j) съхранява максимален брой последователни 1 в отдолу на клетка (i j), включително клетка (i j).
След изчисляване на стойността за всяка клетка от горните матрици най-големият'+' ще се формира от клетка на входна матрица, която има максимална стойност, като се вземе предвид минимумът от ( отляво (i j) отдясно (i j) отгоре (i j) отдолу (i j) )
Можем да използваме Динамично програмиране за да изчислим общия брой последователни 1 във всяка посока:
ако mat(i j) == 1
ляво(i j) = ляво(i j - 1) + 1иначе ляво (i j) = 0
ако mat(i j) == 1иначе top(i j) = 0;
ако mat(i j) == 1
bottom(i j) = bottom(i + 1 j) + 1;иначе дъно (i j) = 0;
ако mat(i j) == 1
дясно(i j) = дясно(i j + 1) + 1;иначе право(i j) = 0;
По-долу е изпълнението на горния подход:
C++// C++ program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming #include
// Java program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming class GfG { static int findLargestPlus(int[][] mat) { int n = mat.length; int[][] left = new int[n][n]; int[][] right = new int[n][n]; int[][] top = new int[n][n]; int[][] bottom = new int[n][n]; // Fill left and top matrices for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] == 1) { left[i][j] = (j == 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1; top[i][j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1; } } } // Fill right and bottom matrices for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = n - 1; j >= 0; j--) { if (mat[i][j] == 1) { right[i][j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1; bottom[i][j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1; } } } int maxPlusSize = 0; // Compute the maximum '+' size for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] == 1) { int armLength = Math.min(Math.min(left[i][j] right[i][j]) Math.min(top[i][j] bottom[i][j])); maxPlusSize = Math.max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1); } } } return maxPlusSize; } public static void main(String[] args) { // Hardcoded input matrix int[][] mat = { {0 1 1 0 1} {0 0 1 1 1} {1 1 1 1 1} {1 1 1 0 1} {0 1 1 1 0} }; System.out.println(findLargestPlus(mat)); } }
# Python program to find the largest '+' in a binary matrix # using Dynamic Programming def findLargestPlus(mat): n = len(mat) left = [[0] * n for i in range(n)] right = [[0] * n for i in range(n)] top = [[0] * n for i in range(n)] bottom = [[0] * n for i in range(n)] # Fill left and top matrices for i in range(n): for j in range(n): if mat[i][j] == 1: left[i][j] = 1 if j == 0 else left[i][j - 1] + 1 top[i][j] = 1 if i == 0 else top[i - 1][j] + 1 # Fill right and bottom matrices for i in range(n - 1 -1 -1): for j in range(n - 1 -1 -1): if mat[i][j] == 1: right[i][j] = 1 if j == n - 1 else right[i][j + 1] + 1 bottom[i][j] = 1 if i == n - 1 else bottom[i + 1][j] + 1 maxPlusSize = 0 # Compute the maximum '+' size for i in range(n): for j in range(n): if mat[i][j] == 1: armLength = min(left[i][j] right[i][j] top[i][j] bottom[i][j]) maxPlusSize = max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1) return maxPlusSize if __name__ == '__main__': # Hardcoded input matrix mat = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ] print(findLargestPlus(mat))
// C# program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming using System; class GfG { static int FindLargestPlus(int[] mat) { int n = mat.GetLength(0); int[] left = new int[n n]; int[] right = new int[n n]; int[] top = new int[n n]; int[] bottom = new int[n n]; // Fill left and top matrices for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i j] == 1) { left[i j] = (j == 0) ? 1 : left[i j - 1] + 1; top[i j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1 j] + 1; } } } // Fill right and bottom matrices for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = n - 1; j >= 0; j--) { if (mat[i j] == 1) { right[i j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i j + 1] + 1; bottom[i j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1 j] + 1; } } } int maxPlusSize = 0; // Compute the maximum '+' size for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (mat[i j] == 1) { int armLength = Math.Min(Math.Min(left[i j] right[i j]) Math.Min(top[i j] bottom[i j])); maxPlusSize = Math.Max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1); } } } return maxPlusSize; } public static void Main() { // Hardcoded input matrix int[] mat = { {0 1 1 0 1} {0 0 1 1 1} {1 1 1 1 1} {1 1 1 0 1} {0 1 1 1 0} }; Console.WriteLine(FindLargestPlus(mat)); } }
// JavaScript program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming function findLargestPlus(mat) { let n = mat.length; let left = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); let right = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); let top = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); let bottom = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0)); // Fill left and top matrices for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] === 1) { left[i][j] = (j === 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1; top[i][j] = (i === 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1; } } } // Fill right and bottom matrices for (let i = n - 1; i >= 0; i--) { for (let j = n - 1; j >= 0; j--) { if (mat[i][j] === 1) { right[i][j] = (j === n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1; bottom[i][j] = (i === n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1; } } } let maxPlusSize = 0; // Compute the maximum '+' size for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { if (mat[i][j] === 1) { let armLength = Math.min(left[i][j] right[i][j] top[i][j] bottom[i][j]); maxPlusSize = Math.max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1); } } } return maxPlusSize; } // Hardcoded input matrix let mat = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]; console.log(findLargestPlus(mat));
Изход
9
Времева сложност: O(n²) поради четири преминавания за изчисляване на насочените матрици и едно последно преминаване за определяне на най-големия „+“. Всяко преминаване отнема O(n²) време, което води до обща сложност от O(n²).
Пространствена сложност: O(n²) поради четири спомагателни матрици (ляво дясно горе долу), които заемат O(n²) допълнително пространство.