Ако изучавате тригонометрия или смятане – или се готвите – ще трябва да се запознаете с единичната окръжност. Единичната окръжност е основен инструмент, използван за намиране на синус, косинус и тангенс на ъгъл. Но как работи? И каква информация трябва да знаете, за да го използвате?

В тази статия обясняваме какво представлява единичната окръжност и защо трябва да я знаете. Ние също така ви даваме три съвета, които да ви помогнат да запомните как да използвате единичната окръжност.

Характерно изображение: Густавб /Уикимедия

Единичният кръг: Основно въведение

Единичната окръжност е окръжност с радиус 1. Това означава, че за всяка права линия, начертана от централната точка на окръжността до която и да е точка по ръба на окръжността, дължината на тази линия винаги ще бъде равна на 1. (Това също означава, че диаметърът на окръжността ще бъде равен на 2, тъй като диаметърът е равен на удвоената дължина на радиуса.)

обикновено централната точка на единичния кръг е мястото, където оста x и оста y се пресичат или при координатите (0, 0):

Единичният кръг или тригонометричният кръг, както е известен, е полезен да се знае, защото позволява ни лесно да изчислим косинуса, синуса и тангенса на всеки ъгъл между 0° и 360° (или 0 и 2π радиана).

Както можете да видите на горната диаграма, като начертаете радиус под произволен ъгъл (маркиран с ∝ на изображението), ще създадете правоъгълен триъгълник. В този триъгълник косинусът е хоризонталната линия, а синусът е вертикалната линия. С други думи, косинус =x-координата и синус = y-координата. (Най-дългата линия на триъгълника или хипотенузата е радиусът и следователно е равен на 1.)

Защо всичко това е важно? Не забравяйте, че можете да определите дължините на страните на триъгълник, като използвате Питагорова теорема или $a^2+b^2=c^2$ (в който а и b са дължините на страните на триъгълника и ° С е дължината на хипотенузата).

Знаем, че косинусът на ъгъл е равен на дължината на хоризонталната права, синусът е равен на дължината на вертикалната права, а хипотенузата е равна на 1. Следователно можем да кажем, че формулата за всеки правоъгълен триъгълник в единичната окръжност е следната:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Тъй като ^2=1$, можем да опростим това уравнение по следния начин:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Бъдете наясно с това тези стойности могат да бъдат отрицателни в зависимост от образувания ъгъл и в кой квадрант попадат x- и y-координатите (ще обясня това по-подробно по-късно).

Ето преглед на всички големи ъгли в градуси и радиани на единичната окръжност:

Единична окръжност — градуси

Единична окръжност — радиани

Но какво ще стане, ако не се образува триъгълник? Нека да разгледаме какво се случва, когато ъгълът е 0°, създавайки хоризонтална права линия по оста x:

На този ред x-координатата е равна на 1, а y-координатата е равна на 0. Знаем, че косинусът е равен на x-координатата, а синусът е равен на y-координатата, така че можем да напишем това:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Какво ако ъгълът е 90° и прави идеално вертикална линия по оста y?

Тук можем да видим, че x-координатата е равна на 0, а y-координатата е равна на 1. Това ни дава следните стойности за синус и косинус:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Този слоган определено важи, ако не сте любител на математиката.

Защо трябва да знаете кръга на единиците

Както беше посочено по-горе, единичният кръг е полезен, защото позволява ни лесно да намираме синус, косинус или тангенс на всеки градус или радиан. Особено полезно е да знаете диаграмата на единичната окръжност, ако трябва да решите определени тригонометрични стойности за домашна работа по математика или ако се подготвяте да изучавате смятане.

Но как точно познаването на единичната окръжност може да ви помогне? Да приемем, че ви е даден следният проблем на тест по математика – и сте го получили не разрешено е да се използва калкулатор за решаването му:

$$sin30°$$

От къде започваш? Нека отново да разгледаме диаграмата на единичната окръжност - този път с всички големи ъгли (в градуси и радиани) и съответните им координати:

Джим.белк /Уикимедия

Не се преуморявайте! Не забравяйте, че всичко, което решавате, е $sin30°$. Като погледнем тази диаграма, можем да видим това y-координатата е равна на /2$ при 30°. И тъй като y-координатата е равна на синус, нашият отговор е следният:

$$sin30°=1/2$$

Но какво ще стане, ако получите проблем, който използва радиани вместо градуси? Процесът за решаването му е все същият. Да кажем, например, че получавате проблем, който изглежда така:

$$cos{{3π}/4}$$

Отново, използвайки диаграмата по-горе, можем да видим, че х-координатата (или косинус) за ${3π}/4$ (което е равно на 135°) е $-{√2}/2$. Ето как би изглеждал тогава нашият отговор на този проблем:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Всичко това е доста лесно, ако имате диаграмата на единичната окръжност по-горе, която да използвате като ориентир. Но през повечето (ако не и през цялото) време това няма да е така и от вас ще се очаква да отговаряте на тези видове математически въпроси, като използвате само мозъка си.

И така, как можете да запомните единичната окръжност? Прочетете за нашите най-добри съвети!

Как да запомните единичния кръг: 3 основни съвета

В този раздел ви даваме нашите най-добри съвети за запомняне на тригонометричния кръг, така че да можете да го използвате с лекота за всеки математически проблем, който го изисква.

Не бих препоръчал да практикувате единичния кръг с лепенки, но, хей, това е начало.

#1: Запомнете общи ъгли и координати

За да използвате единичния кръг ефективно, ще трябва запомнете най-често срещаните ъгли (както в градуси, така и в радиани), както и съответните им x- и y-координати.

Диаграмата по-горе е полезна диаграма с единична окръжност, която можете да разгледате, тъй като включва всички големи ъгли както в градуси, така и в радиани, в допълнение към съответните им координатни точки по осите x и y.

Ето диаграма, изброяваща същата информация под формата на таблица:

Сега, докато сте повече от добре дошли да опитате да запомните всички тези координати и ъгли, това е много от неща за запомняне.

За щастие има трик, който можете да използвате, за да ви помогне да запомните най-важните части от единичния кръг.

Погледнете координатите по-горе и ще забележите ясен модел: всички точки (с изключение на тези на 0°, 90°, 270° и 360°) редувайте само три стойности (независимо дали са положителни или отрицателни):

викас дивякирти

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Всяка стойност съответства на къса, средна или дълга линия за косинус и синус:

Ето какво означават тези дължини:

Къса хоризонтална или вертикална линия= /2$ Средна хоризонтална или вертикална линия= ${√2}/2$ Дълга хоризонтална или вертикална линия= ${√3}/2$

Например, ако се опитвате да решите $cos{π/3}$, трябва да знаете веднага, че този ъгъл (който е равен на 60°) показва къса хоризонтална линия върху единичната окръжност. Следователно, съответната му х-координата трябва да е равна на /2$ (положителна стойност, тъй като $π/3$ създава точка в първия квадрант на координатната система).

И накрая, въпреки че е полезно да запомните всички ъгли в таблицата по-горе, имайте предвид това най-важните ъгли, които трябва да запомните, са следните:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Отнасяйте се към вашите негативи и позитиви, както бихте направили с кабели, които потенциално могат да ви убият, ако са свързани неправилно.

#2: Научете какво е отрицателно и какво е положително

Изключително важно е да можете да разграничавате положителните и отрицателните x- и y-координати, така че да намирате правилната стойност за тригонометричен проблем. Напомняне, в Дали координатата върху единичната окръжност ще бъде положителна или отрицателна зависи от това под кой квадрант (I, II, III или IV) попада точката:

Ето диаграма, показваща дали дадена координата ще бъде положителна или отрицателна въз основа на квадранта, в който се намира определен ъгъл (в градуси или радиани):

Например, кажете, че ви е поставен следният проблем на тест по математика:

$$cos210°$$

Преди дори да се опитате да го разрешите, трябва да сте в състояние да разпознаете, че отговорът ще бъде отрицателно число тъй като ъгълът 210° попада в квадрант III (където са x-координатите винаги отрицателен).

Сега, използвайки трика, който научихме в съвет 1, можете да разберете, че ъгъл от 210° създава дълга хоризонтална линия. Следователно нашият отговор е следният:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Знайте как да решавате за тангенс

И накрая, важно е да знаете как да използвате цялата тази информация за тригонометричната окръжност и синуса и косинуса, за да можете решаване на тангенса на ъгъл.

В trig, за да намерите тангенса на ъгъл θ (в градуси или радиани), вие просто разделете синуса на косинуса:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Например, кажете, че се опитвате да отговорите на този проблем:

$$ an300°$$

Първата стъпка е да настроите уравнение по отношение на синус и косинус:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Сега, за да намерим тангенса, трябва да намерим синуса и косинус от 300°. Трябва бързо да разпознаете, че ъгълът от 300° попада в четвъртия квадрант, което означава, че косинусът или х-координатата ще бъде положителен, а синусът или у-координатата ще бъде отрицателен.

Трябва също да знаете веднага, че ъгълът от 300° създава къса хоризонтална линия и дълга вертикална линия. Следователно косинусът (хоризонталната линия) ще бъде равен на /2$, а синусът (вертикалната линия) ще бъде равен на $-{√3}/2$ (отрицателна y-стойност, тъй като тази точка е в квадрант IV) .

линейно търсене в java

Сега, за да намерите тангентата, всичко, което правите, е да включите и да решите:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Време е да тренирате математическите си умения!

Набор от въпроси за практически кръгове

След като вече знаете как изглежда единичната окръжност и как да я използвате, нека проверим наученото с няколко практически задачи.

Въпроси

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Отговори

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Отговор Обяснения

#1: $sin45°$

При този проблем има две части от информацията, които трябва да можете да идентифицирате веднага:

Отговорът ще бъде положителен,тъй като ъгъл 45° е в квадрант I и синусът на ъгъл е равен на y-координатата

• Ъгълът 45° създава средно дълга вертикална линия (за техните)

Тъй като 45° показва положителна линия със средна дължина, верният отговор е ${√2}/2$.

Ако не сте сигурни как да разберете това, начертайте диаграма, която да ви помогне да определите дали дължината на линията ще бъде къса, средна или дълга.

#2: $cos240°$

Подобно на проблем №1 по-горе, има две части от информацията, които трябва да можете бързо да схванете с този проблем:

Отговорът ще бъде отрицателен,тъй като ъгъл 240° е в квадрант III и косинусът на ъгъл е равен на x-координатата

• Ъгълът 240° създава къса хоризонтална линия (за косинус)

Тъй като 240° показва отрицателна, къса линия, верният отговор е $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

За разлика от проблемите по-горе, този проблем използва радиани вместо степени. Въпреки че това може да направи проблема да изглежда по-сложен за решаване, в действителност той използва същите основни стъпки като другите два проблема.

Първо, трябва да разберете, че ъгълът ${5π}/3$ е в квадрант IV, така че х-координатата или косинусът ще бъде положително число. Вие също трябва да можете да кажете това${5π}/3$създава къса хоризонтална линия.

Това ви дава достатъчно информация, за да го определите на отговорът е /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Този проблем се занимава с тангенс вместо синус или косинус, което означава, че ще изисква малко повече математика от наша страна. Първо, припомнете си основната формула за намиране на тангенс:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Сега нека вземем степента, която ни е дадена – ${2π}/3$– и го включете в това уравнение:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Вече трябва да можете да решавате синуса и косинуса поотделно, като използвате това, което сте запомнили за единичната окръжност. Тъй като ъгълът ${2π}/3$ е в квадрант II, x-координатата (или косинусът) ще бъде отрицателна, а y-координатата (или синусът) ще бъде положителна.

След това трябва да можете да определите въз основа само на ъгъла, който представлява хоризонталната линия кратък ред, а вертикалната линия е дълга линия. Това означава, че косинусът е равен на $-1/2$, а синусът е равен на ${√3}/2$.

Сега, след като разбрахме тези стойности, всичко, което трябва да направим, е да ги включим в нашето първоначално уравнение и да намерим тангенса:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Какво следва?

Ако скоро ще се явявате на SAT или ACT, ще трябва да знаете някаква тригонометрия, за да можете да се справите добре със секцията по математика. Разгледайте нашите експертни ръководства, за да задействате SAT и ACT, за да можете да научите точно това, което трябва да знаете за деня на теста!

Освен запомнянето на единичната окръжност, добра идея е да научите как да включвате числа и как да включвате отговори. Прочетете нашите ръководства, за да научите всичко за тези две полезни стратегии, които можете да използвате на всеки тест по математика - включително SAT и ACT!