В наскоро преработения SAT за 2016 г. съдържанието на раздела по математика е разделено на четири категории от Борда на колежа: сърцето на алгебрата, решаване на проблеми и анализ на данни, паспорт за напреднали по математика и допълнителни теми по математика. Сърцето на алгебрата представлява най-голямата част от раздела по математика SAT (33% от теста) , така че трябва да сте добре подготвени за него. В тази публикация ще обсъждам съдържанието на тази категория и типовете въпроси, ще работя върху практически проблеми и ще давам съвети как да се справите с тези въпроси.

Сърцето на алгебрата: Общ преглед

Обхванато съдържание

Точно както подсказва името, Heart of Algebra обхваща съдържанието по алгебра, но какво конкретно съдържание по алгебра? Тези въпроси обхващат:

• Линейни уравнения
• Система от уравнения
• Абсолютна стойност
• Графиране на линейни уравнения
• Линейни неравенства и системи от неравенства

Ще разгледам всяка една от тези области на съдържанието по-долу. Ще обясня точно какво трябва да знаете във всяка област и ще ви преведа през някои практически задачи.

ЗАБЕЛЕЖКА: Всички практически проблеми в тази статия идват от a реален практически тест SAT на College Board (Практически тест #1).

Бих ви препоръчал да не четете тази статия, докато не вземете практически тест №1 (за да не ви го развалям!). Ако не сте правили Практически тест #1, маркирайте тази статия и се върнете, след като я завършите. Ако вече сте взели тренировъчен тест №1, прочетете!

Разбивка на въпроса за сърцето на алгебрата

Както споменах в началото на статията, Сърцето на алгебрата съставлява 33% от математическата секция, което работи на 19 въпроса. Ще има осем в раздел 3 (тестът по математика без калкулатор) и 11 в раздел 4 (тестът по математика с калкулатор).

Въпросите за сърцето на алгебрата се различават по представяне. Тъй като има толкова много, Бордът на колежа трябваше да смеси как ви задава тези въпроси. Ще видите въпроси с избираем отговор и решетка в сърцето на алгебрата. Можете просто да бъде представено с уравнение(а) и трябва да се реши или може би получавате сценарий от реалния свят като текстова задача и трябва да създадете уравнение(а), за да намерите отговора.

Математическият раздел SAT представя въпроси по ред на трудност (определен от това колко време отнема средностатистически ученик за решаване на задача и процента на учениците, които отговарят правилно на въпроса). Ще видите въпроси за сърцето на алгебрата в целия раздел : простите, „лесните“ ще се появят в началото на множествения избор и решетките, докато по-предизвикателните, които изискват да създадете уравнение или уравнения за решаване, ще се появят към края.

Ще дам примери за всеки тип въпроси (лесни и трудни), докато научаваме за всяка област със съдържание в следващия раздел.

Ние сме на път да завладеем алгебрата!

Разбивки по области на съдържанието

Линейни уравнения

Въпросите за линейни уравнения могат да бъдат представени по няколко начина. По-лесните въпроси за линейно уравнение ще ви помолят да решите линейно уравнение, което ви е дадено. По-трудните въпроси за линейно уравнение ще ви помолят да напишете линейно уравнение, което да представи дадената ситуация.

Без практически проблеми с калкулатора

Този въпрос е един от най-простите, най-лесните и най-директните въпроси в сърцето на алгебрата че ще видиш. Въпросът просто ви моли да решите линейно уравнение, без да го поставяте в реална ситуация, която би изисквала от вас да осмислите контекста, както и уравнението.

Обяснение на отговора:

Тъй като $k=3$, човек може да замени 3 с k в уравнението, което дава ${x-1}/{3}=3$. Умножаването на двете страни на ${x-1}/{3}=3$ по 3 дава $x-1=9$ и ако добавите 1 към всяка страна, тогава резултатът е $x=10$. D е верният отговор.

Бакшиш:

Ако се затруднявате с този въпрос, можете също да го разрешите, като включите избора на отговор за x и видите кой работи. Включването ще работи, но ще ви отнеме повече време от простото решаване на уравнението.

Ако решите уравнението, за да намерите x, можете да проверите отново отговора си, като след това го включите. Ако включите своя избор на отговор за x и двете страни на уравнението са равни, знаете, че имате правилния отговор!

Следващият въпрос е малко по-предизвикателно тъй като ви моли да създадете линейно уравнение, за да представи сценария от реалния свят, който представя.

Обяснение на отговора:

Има два начина да се подходи към този проблем.

Подход 1: Общият брой съобщения, изпратени от Арман, е равен на скоростта му на изпращане на съобщения (m съобщения/час), умножена по 5-те часа, прекарани в изпращане на съобщения: m съобщения/час × 5 часа = $5 милиона $ съобщения. По същия начин, общият брой съобщения, изпратени от Tyrone, е равен на скоростта му на изпращане на текстови съобщения (p SMS/час), умножена по 4-те часа, прекарани от него: p SMS/час × 4 часа = $4p$ SMS. Общият брой съобщения, изпратени от Armand и Tyrone, е равен на сумата от общия брой съобщения, изпратени от Armand, и общия брой съобщения, изпратени от Tyrone: $5m+4p$. C е верният отговор.

Подход 2: Изберете числа и ги включете. Например, ще избера числа и ще кажа, че Арман изпраща 3 съобщения на час, а Тайрън изпраща 10 съобщения на час. Въз основа на предоставената информация, ако Арманд изпраща съобщения в продължение на 5 часа, Арман изпраща (3 съобщения на час) (5 часа) съобщения или 15 съобщения; ако Tyrone изпраща съобщения в продължение на 4 часа, Tyrone изпраща (10 съобщения на час) (4 часа) съобщения или 40 съобщения. Следователно общият брой съобщения, изпратени от Арманд и Тайрон, е $15+40=55$ текста. Сега добавям числата, които съм избрал, към вариантите за отговор и виждам дали броят на текстовете съответства на 55 текста, така че за отговор C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ текста. Следователно C е правилният отговор. ЗАБЕЛЕЖКА: за този въпрос тази стратегия беше по-бавна, но за по-сложни въпроси това може да бъде по-бърз и лесен подход.

Бакшиш:

Вземете тези проблеми стъпка по стъпка. Изчислете общия брой текстови съобщения на Armand, след това изчислете общия брой текстови съобщения на Tyrone и след това ги комбинирайте в един израз. Не бързайте да преминете към окончателния отговор. Може да направите грешка по пътя.

Системи от уравнения

Въпросите за система от уравнения ще бъдат представени по подобен начин като въпросите за линейни уравнения; въпреки това, те са по-трудни защото сега трябва да направите още стъпки и/или да създадете второ уравнение.

The по-лесни въпроси за система от уравнения ще ви помоли да решите една променлива, когато ви бъдат дадени две уравнения с две променливи.

The по-трудни въпроси за система от уравнения ще изисква от вас да напишете система от уравнения, за да представите дадената ситуация и след това да решите една променлива, като използвате създадените от вас уравнения.

Без практически проблеми с калкулатора

Този въпрос е може би най-простите, най-лесните и най-ясни въпроси за системи от уравнения че ще видиш. Той настройва уравненията вместо вас и просто ви моли да решите x.

Обяснение на отговора:

Изваждането на лявата и дясната страна на $x+y=−9$ от съответните страни на $x+2y =−25$ дава $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , което е еквивалентно на $y=−16$. Заместването на $−16$ с $y$ в $x+y=−9$ дава $x+(−16)=−9$, което е еквивалентно на $x=−9−(−16) =7$. Верният отговор е 7.

Бакшиш:

Включването може да е добър вариант, ако ви бъде зададен този въпрос при избираемия отговор (което не е случаят тук). Въпреки това, бихте могли също да включите своя отговор, за да проверите отново работата си!

Ето още един доста ясен въпрос за система от уравнения, но той е такъв малко по-трудно тъй като трябва да предоставите отговора както за x, така и за y (което създава повече потенциал за грешка).

Обяснение на отговора:

Добавянето на x и 19 към двете страни на $2y−x=−19$ дава $x=2y+19$. След това заместването на $2y+19$ с x в $3x+4y=−23$ дава $3(2y + 19)+4y=−23$. Това последно уравнение е еквивалентно на $10y+57=−23$. Решаването на $10y+57=−23$ дава $y=−8$. И накрая, заместването на −8 с y в $2y−x=−19$ дава $2(−8)−x=−19$, или $x=3$. Следователно решението $(x, y)$ на дадената система от уравнения е $(3, −8)$.

Бакшиш:

Включването също би било бърз начин за решаване на този проблем! Когато бъдете помолени да решите въпроса за двете променливи в система от уравнения, винаги се опитвайте да се включите!

Следното е a малко по-трудно. Въпреки че са ви дадени уравненията, все пак трябва да определите какво ви задава въпросът (коя променлива трябва да решите), което е малко по-предизвикателно, тъй като ви задава въпроса, използвайки сценарий от реалния свят. Освен това трябва да го решите с помощта на умствена математика (тъй като е в секцията без калкулатор).

Обяснение на отговора:

За да определите цената на фунт говеждо месо, когато е била равна на цената на фунт пиле, определете стойността на x (броя седмици след 1 юли), когато двете цени са били равни. Цените са равни, когато $b=c$; тоест, когато $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Това последно уравнение е еквивалентно на $0,60=0,15x$, и така $x={0,6}/{0,15}=4$. След това, за да определите $b$, цената на паунд говеждо месо, заменете 4 с $x$ в $b=2,35+0,25x$, което дава $b=2,35+0,25(4)=3,35$ долара за паунд. Следователно D е правилният отговор.

Бакшиш:

Не бързайте да работите през всяка стъпка. Лесно е да направите малка грешка и да получите грешен отговор.

Практически проблем с калкулатора

Следното е един от най-трудните въпроси на Heart of Algebra. Въз основа на сценария от реалния свят, който ви е даден във въпроса, трябва да създадете две уравнения и след това да ги решите.

Обяснение на отговора:

За да определите броя на продадените салати, напишете и решете система от две уравнения. Нека $x$ е равно на броя продадени салати и нека $y$ е равно на броя продадени напитки. Тъй като броят на салатите плюс броя на продадените напитки е равен на 209, уравнението $x+y=209$ трябва да е валидно. Тъй като всяка салата струваше 6,50, всяка газирана напитка струваше 2,00 и общият приход беше 836,50, уравнението $6,50x+2,00y=836,50$ също трябва да е валидно. Уравнението $x+y=209$ е еквивалентно на $2x+2y=418$, а изваждането на всяка страна на $2x+2y=418$ от съответната страна на $6,50x+2,00y=836,50$ дава $4,5x=418,50 $. Следователно броят на продадените салати x е $x={418,50}/{4,50}=93$. Следователно B е правилният отговор.

Бакшиш:

Вземете тези проблеми стъпка по стъпка. Напишете уравнението за общия брой продадени салати и напитки, след това изчислете уравнението за приходите и след това решете. Не бързайте или може да направите грешка.

Абсолютна стойност

Обикновено ще има само един въпрос с абсолютна стойност в раздела SAT математика. Въпросът обикновено е доста лесен и ясен, но изисква да знаете правилата за абсолютната стойност, за да отговорите правилно. Всичко, което е абсолютна стойност, ще бъде поставено в скоби със знаци за абсолютна стойност, които изглеждат така: || Например $|-4|$ или $|x-1|$

Абсолютната стойност е представяне на разстоянието по числова линия, напред или назад.

Това означава, че всичко, което е в знака за абсолютна стойност, ще стане положително тъй като представлява разстояние по числова ос и е невъзможно да има отрицателно разстояние. Например на горната числова линия -2 е на 2 разстояние от 0. Всичко вътре в абсолютната стойност става положително.

Това също означава, че едно уравнение с абсолютна стойност винаги ще има две решения . Например $|x-1|=2$ ще има две решения $x-1=2$ и $x-1=-2$. След това решавате всяко отделно уравнение, за да намерите двете решения, $x=3,-1$.

Когато работите върху проблеми с абсолютна стойност, не забравяйте, че трябва да създадете две отделни решения - положителното и отрицателното, както направихме по-горе.

Практически проблем с калкулатора

Обяснение на отговора:

Ако стойността на $|n−1|+1$ е равна на 0, тогава $|n−1|+1=0$. Изваждането на 1 от двете страни на това уравнение дава $|n−1|=−1$. Изразът $|n−1|$ от лявата страна на уравнението е абсолютната стойност на $n−1$ и, както току-що споменах, абсолютната стойност никога не може да бъде отрицателно число, тъй като представлява разстояние. Следователно $|n−1|=−1$ няма решение. Следователно няма стойности за n, за които стойността на $|n−1|+1$ да е равна на 0. D е правилният отговор.

Бакшиш:

Помнете правилата за абсолютната стойност (тя винаги е положителна!). Ако помните правилата, трябва да разберете правилно въпроса!

Графиране на линейни уравнения

Тези въпроси тестват способността ви да четете графика и да я интерпретирате във форма $y=mx+b$. Бързо опресняване, $y=mx+b$ е уравнението за пресичане на наклона на права, където m представлява наклона, а b представлява пресечването с y.

В тези въпроси обикновено ще ви бъде представена графика на права и ще трябва да определите какви са наклонът и y-пресечната точка, за да напишете уравнението на правата.

Практически проблем с калкулатора

Обяснение на отговора:

Връзката между h и C е представена от всяко уравнение на дадения ред. С-пресечната точка на правата е 5. Тъй като точките $(0, 5)$ и $(1, 8)$ лежат на правата, наклонът на правата е ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Следователно връзката между h и C може да бъде представена чрез $C=3h+5$, уравнението за пресичане на наклона на правата. C е верният отговор.

Бакшиш:

Запаметете формата за пресичане на наклона ($y=mx+b$) и уравнението за наклона $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Знайте какво означава всяка променлива в уравненията. Ако знаете всичко това, трябва да сте в състояние да се справите с всяка задача с графично линейно уравнение, която ви бъде дадена.

Линейни неравенства и системи от линейни неравенства

Това са може би най-предизвикателните въпроси в сърцето на алгебрата тъй като много ученици се затрудняват, когато променливите се комбинират с неравенства. Ако имате нужда от бързо, но задълбочено опресняване на неравенствата, вижте нашето ръководство за неравенства.

Тези въпроси обикновено се появяват към края на опциите за избор и мрежата във всеки раздел. Тези въпроси ще бъдат представени като ясни, вече зададени неравенства (няма да бъдете помолени да създадете неравенства, нито ще ви бъде представен сценарий от реалния свят, използващ неравенства). Въпреки че са представени по ясен начин, тези въпроси са предизвикателни и е лесно да се направи грешка, така че отделете време!

Практически задачи за калкулатор

Обяснение на отговора:

Изваждането на $3x$ и добавянето на 3 към двете страни на $3x−5≥4x−3$ дава $−2≥x$. Следователно x е решение на $3x−5≥4x−3$ тогава и само ако x е по-малко или равно на −2 и x НЕ е решение на $3x−5≥4x−3$ тогава и само ако x е по-голямо от −2. От дадените възможности за избор само −1 е по-голямо от −2 и следователно не може да бъде стойност на x. А е верният отговор.

Можете също да опитате да отговорите на този въпрос, като включите опциите за отговор и видите кой от тях не работи. Ако включите A в неравенството, ще получите $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Опростявайки неравенството, ще получите -8≥-7, което не е вярно, така че А е правилният отговор.

Бакшиш

Запомнете правилата на неравенствата! Не бързайте да си проправяте път през всяка стъпка, за да не правите грешки. Освен това не забравяйте да опитате да включите избора на отговор, за да намерите правилния отговор!

Нека да разгледаме друг пример.

Обяснение на отговора:

Тъй като (0, 0) е решение на системата от неравенства, заместването на 0 вместо x и 0 вместо y в дадената система трябва да доведе до две верни неравенства. След тази замяна, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Следователно a е положително, а b е отрицателно. Следователно a > b. Избор А е правилен.

Бакшиш:

Третирайте тази система от неравенства с четири променливи по същия начин, както бихте третирали система от неравенства с две променливи. Запомнете, че ако (0,0) е решение, това означава, че когато x=0, y=0.

4 ключови стратегии за сърцето на алгебрата

Разпръснах стратегиите за атакуване на тези въпроси в тази статия в секциите „съвети“, но сега ще ги обобщя тук.

Стратегия №1: Запомнете правилата и формулата

Трябва да знаете правилата за неравенствата, правилата за абсолютната стойност и формулата за версията на пресечната точка-наклон на линия ($y=mx+b$), за да отговорите правилно на тези типове въпроси по алгебра. Без правилата и формулата тези въпроси са почти невъзможни.

Ако се нуждаете от повече помощ за някоя от концепциите, вижте нашите задълбочени ръководства за линейни уравнения, системи от уравнения, абсолютна стойност, форма на отсечена точка и наклон и линейни неравенства и системи от неравенства.

Стратегия №2: Включване на отговори

При въпросите с избираем отговор трябва винаги проверявайте дали можете да включите избора на отговор на дадено уравнение(а) или неравенство, за да намерите правилния отговор . Понякога този подход ще бъде много по-прост, отколкото да се опитвате да решите уравнението.

Дори ако установите, че включването на отговори ви забавя, трябва поне да обмислите използването му, за да проверите работата си. Включете избора на отговор, който намерите, и вижте дали води до балансирано уравнение или правилни неравенства. Ако е така, знаете, че имате правилния отговор!

Включи го! Включи го!

Стратегия #3: Включване на числа

Ако включването на отговори не е възможност, включването на числа често е възможност, както във въпрос 2 по-горе. Когато избирате числа за включване, по принцип не препоръчвам да използвате -1, 0 или 1 (тъй като те могат да доведат до грешни отговори) и не забравяйте да прочетете въпроса, за да видите какви числа трябва да изберете. Например във въпрос 2 числата представляват броя на изпратените текстови съобщения, така че не трябва да използвате отрицателно число, за да представите броя на текстовите съобщения, тъй като е невъзможно да изпратите отрицателен брой текстови съобщения.

За неравенствата това е особено важно, често въпросът ще каже „следното е вярно за всички $x>0$.“ Ако случаят е такъв, не можете да включите 0 или -5; можете да включите само числа, по-големи от 0, тъй като това е параметърът, зададен от въпроса.

Стратегия #4: Работете стъпка по стъпка

За въпросите на Heart of Algebra трябва да отделите време за всяка стъпка. Тези въпроси могат да включват 5, 10, 15 стъпки и трябва да отделите време, за да сте сигурни, че няма да направите малка грешка в стъпка 3, която ще доведе до неправилен отговор. Вие си знаете нещата, така че не позволявайте на дребните грешки да ви струват точки!

Какво следва?

Сега, след като знаете какво да очаквате от въпросите на Heart of Algebra, уверете се, че сте подготвени всички други теми по математика ще видите в SAT. Всички наши ръководства по математика ще ви преведат през стратегии и практически задачи за всички теми, обхванати в раздела по математика, от цели числа до съотношения, кръгове до многоъгълници (и още!).

Чувствате ли се тревожен за деня на теста? Уверете се, че знаете точно какво да правите и да вземете, за да успокоите ума си и да успокоите нервите си, преди да е време да вземете SAT.

Времето ви свършва за раздела по математика SAT? Не търсете повече от нашето ръководство, за да ви помогне да победите часовника и да увеличите максимално резултата си по математика SAT.

Риболов, за да получите перфектен резултат? Разгледайте нашите ръководство за получаване на перфектни 800 , написана от перфектен голмайстор.